makalah integral tentu

MAKALAH INTEGRAL TENTU

PANJANG BUSUR SUATU KURVA

LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR

		DISUSUN OLEH: NAMA : DEWI ELLA WATI                    NPM      : C3416110005

 

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

IKIP VETERAN SEMARANG

TAHUN 2016

KATA PENGANTAR

Puja dan puji penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya.

Makalah ini berjudul “panjang busur suatu kurva dan luas permukaan benda putar”..

Dalam pembuatan makalah ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai pihak diantaranya :

1.       Ibu arie wahyuni, M.Pd selaku dosen mata kuliah pendidikan matematika

2.       Rekan-rekan semester 1 di kampus IKIP VETERAN SEMARANG

3.       Dan semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu kepada semua pihak penulis ucapkan dan haturkan rasa terima kasih.

Dalam penyusunan makalah ini penulis menyadari masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca agar dapat dilakukan perbaikan dimasa yang akan datang.

Semarang, 25 november 2016

penulis

DAFTAR ISI

Kata pengantar                                    …………………………………    2

Daftar isi                                               …………………………………   3

Bab I Pendahuluan                              …………………………………   4

A.   Latar belakang masalah        ………………………………...    4

B.   Rumusan masalah                  ………………………………...    4

C.   Tujuan makalah                     ………………………………...    4

D.   SK dan KD                              ………………………………..     4

Bab II Pembahasan                              ………………………………..     5

A.   Panjang busur suatu kurva     ……………………………….. 5

Soal dan pembahasan               ……………………………….. 6

B. luas permukaan benda putar    ………………………………. 11

     Soal dan pembahasan                 ……………………………… 12

Bab III Penutup                                            ………………………………16

A.   Kesimpulan                                       ……………………………… 16

B.   Saran                                                  ……………………………... 16

Daftar pustaka                                             ……………………………... 17

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus.Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah . Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah.Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

B.   Rumusan Masalah

1.      Panjang busur suatu kurva

2.      Luas permukaan benda putar

C.   Tujuan

            Untuk mempelajari beberapa dari kegunaan integral seperti panjang busur suatu krva dan luas permukaan benda putar.

D.  SK dan KD

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

1.      Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.

2.      Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.

3.      Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu

4.      Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.

BAB II

PEMBAHASAN

DEFINISI PANJANG BUSUR
Misalkan fungsi y = f(x) memiliki kurva halus pada interval [a, b]. Panjang busur f antara a dan b adalah

Dengan cara yang sama, untuk kurva halus yang diberikan oleh x = g(y), panjang busur g antara c dan d adalah

Karena definisi dari panjang busur dapat diaplikasikan pada fungsi linear, maka definisi baru dapat diperiksa apakah definisi tersebut memenuhi rumus jarak ataukah tidak. Perhatikan contoh 1 berikut.
Contoh 1: Panjang dari Suatu Ruas Garis
Tentukan panjang busur dari (x₁, y₁) ke (x₂, y₂) pada grafik f(x) = mx + b, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pembahasan Karena

maka hal ini akan menyebabkan

yang merupakan rumus untuk menentukan jarak antara dua titik pada bidang.
Contoh:
Panjang kurva dari x² + y² = 4 untuk x = 0 sampai x = 2 adalah:

Cara Menghitung Panjang Busur

Salah satu aplikasi integral dalam dunia matematika yaitu untuk menghitung panjang busur. Apakah busur yang dimaksud disini selayaknya busur panah misalnya? atau busur seperti apan?

Untuk menghitung panjang busur suatu kurva yang kontinu dalam selang tertentu kita menggunakan integral, karena ini merupakan salah satu apilkasi dalam integral.

Jika diketahui f(x) merupakan fungsi dalam x yang kontinu pada selang [a,b]

adversitemens

Sehingga panjang busur S kurva y=f(x) dari x=a sampai x=b dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut :

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk x=g(y) yang kontinu pada selang [a,b], seperti yang diperlihatkan pada gambar dibawah ini :

Sehingga untuk menghitung panjang busur S dari y=a sampai y=b kita gunakan rumus sebagai berikut :

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :

Hitunglah panjang kurva dari x² + y² = 4 untuk x = 0 sampai x = 2 ?

Penyelesaian :

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

Panjang Busur

Gambar 4.16

Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva  Berdasarkan definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur  yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan turunan  adalah yang masing-masing kontinu pada interval maka panjang tali busur dinyatakan oleh

Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang persamaannya dinyatakan dengan  dengan  turunannya adalah yang masing-masing kontinu pada maka panjang busur AB dinyatakan oleh

Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:

Contoh

1)      Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis  antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.

Jawab

Karena  diperoleh  sehingga

Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik

Kedua cara memberikan hasil yang sama.

2)      Tentukan panjang  tali busur  pada kurva  antara

Jawab

Karena  maka  

Atau sehingga diperoleh

Karena y berubah dari  sehingga

\

4.2  Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva  diputar mengelilingi sumbu  

                                               Gambar 4.17

Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk benda pejal 

                                            Gambar 4.18

Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas  dan

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah

Selanjutnya andaikan  dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n bagian dengan menggunakan . Dengan demikian kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan  menyatakan panjang potongan dan andaikan  adalah sebuah titik pada potongan . Karena pita potongan diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh  Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengandiperoleh luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:

Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis  dan  maka luas permukaannya dinyatakan dengan

Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik dengan maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus

Contoh soal

1)      Luasan R dibatasi oleh kurva  diputar mengelilingi sumbu . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.19

Karena maka

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:

   

   

2)      Luasan R dibatasi oleh kurva  diputar mengelilingi sumbu y. dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.

Jawab                                                       

                 

Gambar 4.20

Karena  maka  sehingga

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:

                      

 

BAB III

PENUTUP

A.  KESIMPULAN

            Materi Integral ini dibagi dalam beberapa bagian, sebagai berikut:

1.      Pengertian Integral

Bagian ini membahas pengertian integral sebagai invers (kebalikan) dari turunan, baik turunan fungsi aljabar maupun turunan fungsi trigonometri.

2.      Integral Tentu

Pada bagian ini membahas pengertian integral tentu yang diturunkan dari konsep luas daerah sebagai limit jumlah. Menghitung nilai integral tentu dengan menggunakan teorema dasar kalkulus.

3.      Teknik Pengintegralan

Bagian ini membahas teknik-teknik pengintegralan ada 3 teknik yang digunakan :

ü  Pengintegralan dengan substitusi

ü  Pengintegralan dengan substitusi Trigonometri

ü  Pengintegralan Parsial

4.      Penerapan Integral

Bagian ini membahas tentang penerapan Integral dalam menentukan :

ü  Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu-sumbu koordinat

ü  Luas daerah antara 2 kurva

ü  Volume benda putar mengelilingi sumbu X

ü  Volume benda putar mengelilingi sumbu Y

B.  SARAN

            Seharusnya untuk belajar matematika itu tidak dengan menghapal tetapi dengan banyak berlatih.

DAFTAR PUSTAKA

Diposkan oleh Intan Purnama Hasyim di 00.30

Nikenasih bintari Jurusan pendidikan matematika FMIPA UNY

http://rumus-matematika.com/cara-menghitung-panjang-busur/

http://hidupmatematika.blogspot.co.id/2014/03/materi-menentukan-panjang-busur.html

http://rumus-matematika.com/cara-menghitung-luas-selimut-benda-putar/